§ 4 Abs. 3 Nr. 2 BerHG regelt ja nur die formellen Voraussetzungen der Antragstellung (vgl. BR-Drs. 516/12) zur Erleichterung der Prüfung der Voraussetzungen durch das Gericht.
Insoweit stimme ich dir zu, daher ist der bei mir kritische Prüfungspunkt die Zulässigkeit.
Allerdings gebe ich zu, dass der Wortlaut von § 4 Abs. 3 Nr. 2 BerHG verunglückt ist, was allerdings durch eine teleologische Reduktion der Norm behoben werden kann.
Da bin ich mir nicht sicher, ob da tatsächlich eine planwidrige Regelungslücke vorliegt. Man könnte auch zum Ergebnis kommen, dass der Gesetzgeber, indem er diese Versicherung (anders als bei der PKH) explizit vom Antragsteller fordert, zum Ausdruck bringen wollte, dass nach dem ersten Versuch Schluss ist.